IKEAのHammersmith店は、小さいですが駅から歩けます。品ぞろえが少なくオンライン注文しておいて、引き取りが楽かもしれません。平日、土曜は21時まで。Primarkも隣にあります。

エアマットレス、TESCOの大き目な店（Extra）で£20－£40くらいでシングルサイズ、セミダブルサイズとも売ってました。
スポーツ店Decathronでもキャンプ用品コーナーで売ってます。短期間なら安価で便利そうです。

①　カウンターに行き、眺めながら、バーテンが声をかけてくれるのを待つ。
②　好きな飲み物を頼む。
　　種類：ビールの場合は、ラガー、エール、スタウト（黒）とか種類で言えるといいですが、周りの人と同じものとか、もありです。空いてると小さなグラスで味見させてくれることもあります。
　　量：　パイント（500cc強）、またはハーフパイント（コップ一杯）
③　その場でお金を払う
④　カウンターで立ち飲み、または、近くの席に座って。
　　奥の部屋はレストランになっていることが多いです。
　　
　　食事をしたいときはメニューをもらって、カウンターで同様に頼むか、店によっては席に注文を聞きに来てくれます。

初めてであれば、フィッシュ＆チップスを頼んで、モルトビネガーをたっぷりかけて、がおすすめです。

タクシー（Black Cab）の場合は、私はFree NowというAPP（UBERに近いですが、タクシーが予約できるので）を使っています。
https://www.free-now.com/uk/taxi-london/

電車は
・ヒースローエクスプレスの始発が05:17（曜日によると思います。確認ください）
　https://www.heathrowexpress.com/timetable/
・Tubeピカデリーラインが　ピカデリーサーカス05:47始発といった感じみたいですね。
https://tfl.gov.uk/tube/timetable/piccadilly?FromId=940GZZLUPCC&fromText=Piccadilly+Circus+Underground+Station&toText=Heathrow+Terminals+2+%26+3+Underground+Station&ToId=940GZZLUHRC

klookを見てみましたが、£25（片道）は通常価格ですね。
もっと安いのもあるのかな？

ヒースローエクスプレスのHP
https://www.heathrowexpress.com/tickets-and-offers/book-early-to-save-money#/
で早期割引のページもあるので、ここで買えば日程も指定できると思います。
一番安いものは片道£5.5です。（なかなかこのタイミングで予定が決まらないのですが）

ヒースローエクスプレスは通常15分に1本走っていますので、事前予約しないでも、駅の自販機で”自由席”を購入して、飛び乗ることも十分可能です。

また、最近は同じ駅から　Paddington駅まで
エリザベスラインも走っていて、£12.8です。
（30分と時間は倍かかりますが）

ロンドン　2泊
到着日　午前着か夕方着かですが
元気ならば ビッグベンとウエストミンスター寺院は近いのでその日に。ただし寺院は閉まるのが早いですので夜景になるかも？
https://www.westminster-abbey.org/visit-us/prices-entry-times
翌日午前にバッキンガム宮殿の衛兵交代を見て、ショッピング。

パリ4泊
3日目の午前中にセントパンクラス駅（ハリーポッターの9 3/4番線のあるキングスクロス駅の隣）からユーロスターでパリ北駅へ。
電車は2時間半ですが飛行機と同じく出国手続きがあるので到着はお早めに。
車窓からの南イングランド、北フランスの景色が見ものです。
電車の方が市内中心を結んでいるので、私はお勧めです。もし飛行機ならばCDG空港と市内を結ぶ鉄道RERはスリが多いので、大荷物の時はバスかタクシーかUberをお勧めします。
時差1時間あるので午後早めにパリに着き、まずホテルにチェックイン、凱旋門とかエッフェル塔は比較的遅くまで開いてます。
モン・サン・ミシェルとディズニーランドは、それぞれ1日ずつかけて、
最終日、ショッピング、でしょうか。
駆け足でしょうが、たくさん見どころありますのでお楽しみください。