はじめまして、お答えさせていただきます。空港を出ない場合は、ビザ不要とのことです。国際線国内線合わせても、ターミナルも１つなので、入国せず同じ建物内で次の便を待つことになります。良い旅になりますように！

女性か男性かで回答は大きく変わると思いますが、一旦それは置いておいて。私の知っている限りでお答えします。思いつくのは、
⑴サウジ出向のある日本大手企業に勤めて機会を待つ。
⑵専門職として求人を探す。
レストランシェフや工場長(神奈川県川崎に本社がある会社だったような？)といった専門知識のある日本人の求人は、日本の求人サイトでも見たことがあります。一度探して見てください。
⑶使用人として働く。
ベビーシッターやメイドはアジアやアフリカからの安い労働力に頼っており、日本人が受け入れられるかわかりませんが、相当過酷な状況を強いられるかも。

結局は、今はサウダイゼーションの一環でサウジ人の雇用促進を国家主導で進めている状態。サウジ人ではなくて日本人に就労ビザを出してまで働いてもらう理由が以前よりも重要になっています。