こんにちは。
ハンガリーでは、日本語を学習する方が非常に多い印象を受けたので、日本人の方と文通をできる小学生はさぞ喜ぶことでしょう。
日本の郵便局からハンガリーへは残念ながらわかりませんが、EMSなど海外郵送を行っている業者を使うのはいかがでしょう？
子供のころから、海外での生活や海外の家族や友人とのやり取りを行うことが多かったのですが、海外の一般の郵便だと、紛失することが多々あったので、手紙は　（Air mail:　航空便というのでしょうか？)　で送っていました。一度目はEMS等の代理のサービスを活用して、二度目には郵便局を使えるように情報収集をする時間を買うのはいかがでしょう？
私も、もし以後情報が分かったら、ここに返信します。

Deák Ferenc tér 周辺でわないでしょうか？
観光場所も割と近いですし、交通の便も良いです。
ただ、綺麗なのはドナウ川沿いです。four seasons ホテルの周辺も歩いてすぐの観光名所があって、地下鉄も割と近くて、乗り換えなどでもすぐ色々な所に行けますよ。
ブダペストも公共交通機関が発達しているので、どこのホテルも割と良い所にあります。airbnb や bnb は Deak 周辺の駅近をお勧めします。