はじめまして。台湾の大学に留学している者です。現在学校が夏休みで日本に帰国しているため旅行にお付き合いすることはできませんが、台湾旅行についてアドバイはできるので参考までに見ていただけたらと思います。
私も初めて台湾に旅行したときは、3泊4日で費用は合計で10万円ほどで抑えることができました。
①航空券についてはLCC（格安航空会社）をおすすめします。台湾と日本の間ではピーチエア、バニラエアなど、往復で2万〜5万円ほどで行くことができます。※ただ予約の時期や航空券の購入時期などによって価格は変動します。夏の時期だと普段に比べて高いと思います。またLCCは深夜早朝便が多いです。ですが、その他のJAL、ANA、チャイナエアライン、EVA（台湾航空会社）比べて、LCCのほうが価格は良心的です。渡航の期間が決まっているのであれば、航空会社の予約サイトで是非調べてみてください。
②食事
台湾では家でご飯を作る習慣はあまりないので、ほとんどが外食です。
台湾には朝食屋や定食屋のようなものがあり、現地の方は朝はそこで食事をすることが多いです。朝であれば飲み物なども込みで1食100元を超えることはないと思います。
また台湾には、セブンイレブンやファミリーマートなど日本と同じようにたくさんコンビニがあります。
そういったところで、飲み物や、ご飯を買う台湾人も少なくありません。
他には観光地にあるレストランなどがあります。
夜はナイトマーケットをおすすめします。士林夜市など有名なナイトマーケットを調べていただければ、いろんな食べ物が紹介されているので、調べてみてください。
台湾の現地の学生や若い人の食費1日平均200〜300元かかると言われています。
観光であればそれ以上かかると思われます。
③お土産
台湾ではお土産の定番といえばパイナップルケーキです。
西門や迪化街、中山など日本の観光客の方がたくさん来られるところで売られています。ほとんどは10個入りで100元（日本円約370円）のところが多いです。他には小さいサイズのお茶っ葉（150元/約600円〜）など、ドライフルーツ1袋（200元/800/円前後）。
④ホテル代
渡航前にインターネットで事前に予約することをおすすめします。
エクスペリアなどのホテル予約サイトなとで予約していただければ、確認メールも届きますし、現地についた後、手間がかからないと思います。セールで割引になっているホテルもありますあります。
日本語が話せるスタッフがいるホテルもたくさんあります。
費用も部屋の大きさや形態によりますが、トイレやシャワーが共同のホステル（1人部屋もあります）であれば食事はついていないことが多いですが500元（2000円）以下で済みます。
私が初めての旅行で泊まったホテルは台北駅から徒歩で15分位のところで、1人部屋、シャワートイレ共同で1泊400元（約1600円）でした。

ざっくりと書いたのでわかりにくい点もあると思いますが、参考になれば幸いです。
私も3年前に初めて一人で台湾旅行に来たときは言葉も全く出来ず不安でしたが、日本語や英語ができる方が多く、観光地やお土産屋では、簡単な日本語であればほとんどの方ができるので、言葉で苦労することはあまりなかったと思いますし、台北市内のいろんな観光地をまわることができて、短い期間でしたが、楽しむことができました。台湾で1人旅される方も最近は多いですよ。
また何かわからないことがあれば連絡ください。

台湾で一番使われているアプリはラインです！次に多いのがfacebookのmessengerです。
中国大陸の方であれば、ライン・facebook・twitterは利用することができないので、wechatを使っています。
台湾に四年近く住んでいますが、whatsappやwechatを使っている台湾人は見たことがありません。