ここに聞いてみれば如何ですか？
http://www.kingbus.com.tw/
もし見つかれば代わりに受け取りに伺ってもいいですよ。

まず、空港から直接台北市内へ行く方法はありません。
来年にＭＲＴ（地下鉄）ができる予定ですが・・・・
どうしても鉄道で行く場合は、空港からバスに乗って桃園駅まで行ってそこからＴＲ（台湾鉄道）に乗る方法または新幹線の桃園駅から新幹線の乗る方法がありますが、時間もお金もかかります。
ちなみに台湾の主要駅にはエレベータ、エスカレーターがあり重い荷物を持っていても大丈夫です。
これは日本より優れています。
よって桃園空港からはバスがお薦めです。
バス会社もたくさんありますので台北駅行き、松山空港行きなどホテルによって選択すればいいでしょう。フローラホテルアネックスなら台北行きがいいですね。台北駅バスターミナルから歩いて行けます。
空港からですと高速道路が2本あり、出入り口の少ない道路を使用するのでほとんど渋滞はないと思います。（事故時以外は）

市内ではタクシー利用もいいです。
日本語が通じる運転手もいますが、地図や中国語で書いたものを見せたら行ってくれます。
台湾のタクシーは非常に安いので荷物があるときや大勢で乗る場合ははＭＲＴよりいいです。

MRTは使用すると非常に便利です。もちろん運賃も安いです。（60円～100円）
SUICAのようなカードを購入して乗る方法（帰国時返却するとデポジットは戻る）、毎回チケット（プラスチックのコイン）を購入する方法、1DAY～3DAYなどのフリーチケットなどもあります。（窓口で購入できます。）

十分と九份へもバスが便利です。
台北駅バスターミナルから出ています。
電車は乗り換えなどあり不便で時間的ロスが多くお勧めできません。
ただ、帰りが、特に夜の九分からの帰りはバスが混んでて、待たされます。
帰りはタクシーがいいかもしれません。片道1100元（NT$）（約3300円）です。
相乗りだともっと安いです。
時間、込み具合、など考慮すると2、~4人で行くなら往復タクシーがいいかもしれません。

服装は今現在まだ30度近くありますが、地下鉄やレストラン、ホテルなど建物内は冷房が利いていて寒いくらいなので、上に羽織るものがあるといいでしょう。
雨も降りますのでウインドブレーカーなどがあればいいでしょう。

小籠包・餃子・点心なら鼎泰豊、京鼎樓、杭州小籠湯包などがお勧めです。
GOOＧLE　MAPで検索してみてください。
あと、夜市もＢ級グルメが楽しめます。有名な士林夜市、饒河夜市もお勧めです。
MRTで行けます。士林夜市は淡水線、劍潭駅、饒河夜市は松山新店線、松山車站駅です。
牛肉麵はローカルですが、桃源街正宗山東牛肉麺いいです。
台湾料理は　少し高いですが欣葉台菜や高記 Kao chiがお勧めです。
淡水線中山駅周辺は日本の百貨店、レストラン、飲み屋がたくさんあります。
鼎泰豊（三越にあります）、欣葉台菜や高記もあります。

上記のレストランや駅はGOOGLE　MAPで検索すると便利です。
また、下記のホームページはお勧めです。旅行の参考にしてください。
http://www.taipeinavi.com/

特にありません。
かえって支店の方がすいてる場合があります。

MRT駅、忠孝復興にあるSOGOに大きなリッカー店があります。
または、そにSOGOからMRTの高架沿いに北に歩いて行くと微風広場、BREEZEというショッピングセンターがあってその地下にもたくさんの品揃えのお店があります。

今はMRT(地下鉄)も開通したので、台北駅へ行くのに一度乗り換えが必要ですが、便利だと思います。
ただ、夜中、それも女性一人となると駅からホテルを探しながら歩くというのは,決して治安は悪くないとはいえ、不安があります。
台湾はタクシーが安いので、夜中ならば、空港から直接ホテルまでタクシーを勧めします。日本円で3000円ぐらいです。
昼間ならバスでもMRTでもいいのですが……
台北駅近辺には綺麗なビジネスホテルがたくさんありますよ。
Booking.comなどで調べては如何でしょう。