はじめまして。
私自身がヒースロー空港を利用しないため、どの程度正確な答えになるか分かりませんが、airport taxi もしくはtransfer Heathrow Aberystwyth で検索したところ、ウェブサイトと車種によってばらつきがありますが、エコノミー（多分小さめの乗用車）で片道£220から£350くらいみたいです。

ご参考まで…
私は日本に帰る時、バーミンガム空港を利用します。もしも日本の空港から、例えばパリ、アムステルダム、ドイツの空港、などでバーミンガム空港まで乗って来ることが可能でしたら、バーミンガム空港からAberystwyth までは電車で一本です。始発駅から終点まで（長いけど）乗っていれば着くので（途中の駅で電車の切り離しがあるのでもしかしたら移動しなきゃいけないけど）、楽です。イギリス国内の移動は非常に時間がかかるので、トータルで考えると、バーミンガム空港からの移動が一番早いです。また、バーミンガム空港自体がヒースローに比べて非常に小さいので、身動きしやすいと思います。

旅が快適なものになりますように。