恐らくスーツケースの受け取りなどで移動可能になるのは午前7時過ぎになると思いますので、小さいお子さん連れの場合はタクシーの移動がベストだと思います。
スーツケースが3つとありますので、大きさにもよりますが通常のタクシーでは入らない可能性があります。その場合は大きめのタクシー（空港で手配可能）で向かうのがベストかと思います。
平日とのことなので通勤ラッシュに当たるかもしれませんが、休日よりはずっとマシかと思います。
尚、イミグレーションはコーズウェイとセカンドリンクと2箇所ありますが、レゴランドはセカンドリンクからの方が断然近いのでドライバーにはその旨伝えて下さい。
マレーシアに入国したあと、レゴランドまでタクシーが向かってくれるのか、もしくはセカンドリンクまでで終わりなのかはドライバーに確認をした方が良いかと思います。恐らくセカンドリンクまでだと思いますが、その場合は入国後タクシーを捕まえるか、バスを利用することになると思います。

勿論可能です。
移動はMRTと呼ばれる電車、バス、タクシーなど様々な手段がありますが、行きたい目的地に合わせて選ばれると良いかと思います。
タクシーも日本ほど高くはないので、滞在時間が短い場合は一番効率良く周れると思います。

もちろん可能です。
国境越えはとても簡単ですので、英語の心配は無用ですよ。パスポートさえあれば大丈夫です。両替もジョホールバルに着いてからでも問題ありません。
国境越えはウッドランズからコーズウェイ経由で渡る場合とトゥアスからセカンドリンクで渡る場合とありますが、その先の目的地で考慮した方が良いと思います。シティスクエア（ショッピングモール）などであればコーズウェイ、レゴランドやイスカンダル地区方面でしたらセカンドリンクの方が近いです。
スパも色々とあるかと思いますが、事前にある程度確認をして、可能ならば予約をされて行った方が良いかと思います。