こんにちは。お役に立てるかわかりませんが、質問に答えさせていただきます。
2年後だとまた変わっているかもしれませんが、現在は携帯はiphoneであれば6s以降のものはSIMフリーにできるので、日本でSIMフリーにしてから持ち込みニュージーランドの携帯会社からSIMを購入して差し込むと使用できます。
私は1年4ヶ月のワーホリで来ているので、プリペイド式で月に$20で1.25Gのプランで使用しています。だいたいの家はWifiがあるので、1ヶ月経ってもギガ数は余っています。
パソコンは日本から持ち込みましたが、問題なく使えています。
生理用品は日本から3ヶ月分くらい持ってきましたが、特にニュージーランドのものでも問題かなと思います。使ってみた感想としては特に日本のものと大きな変わりはないと思うので、そこまで気にならないようであれば、いっぱい持ってくる必要は無いと思います?

1.それぞれのお家の構造にもよると思いますが、乾燥機を置いてある家も多いです。私のシェアハウスは乾燥機があるので、乾燥機を使っています。オークランドは突然の雨が本当に多いので、外に干すともう一度洗わなければいけない、、ってなることもあります。?
2.どういったものを捨てるゴミ箱でしょうか？ふつうに手拭きタオルを捨てるゴミ箱はありますよ。
3.水道水は特に神経質な方でなければ問題ないです。ペットボトルの水を買うと高いので、水筒のようなものを持ち歩いてる方も多いです。